Национална олимпиада по Астрономия

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ

1 задача. Кои точки от земната орбита се наричат перихелий и афелий?
Разстоянието от Земята до Слънцето в перихелий е 147.06×10⁶ км, а в афелий 152.14×10⁶ км. На фигурата виждате кадър от филм, на който е заснето Слънцето в момент, когато Земята е била близо до афелия на своята орбита.
• Ще се събере ли върху кадър от същия филм изображението на Слънцето, което би се получило със същия фотоапарат, когато Земята е близо до перихелия на орбитата си?
• С колко процента общият видим блясък на Слънцето, когато Земята е в перихелий, се отличава от блясъка му, когато Земята е в афелий?
• Как ще се промени видимата яркост на изображението на Слънцето, получено когато Земята е в перихелий, в сравнение с това в афелий? Обяснете вашия отговор.

Нашата планета обикаля около Слънцето по орбита с форма на елипса.

В един от фокусите на елипсата е Слънцето. Перихелий е точката от земната орбита, която е най-близо до Слънцето, а афелий – най-далечната от Слънцето точка.
Измерване с линийка показва, че диаметърът на изображението на Слънцето е 64 мм, а тясната страна на кадъра от филма е 73 мм. Размерът на изображението на Слънцето, получено върху кадъра от филма, е пропорционален на видимия ъглов размер на Слънцето. Понеже този ъглов размер е малък, можем да считаме, че той е обратно пропорционален на разстоянието до Слънцето. Да означим с r₁ и r₂ разстоянията от Земята до Слънцето, а с d₁ и d₂ диаметрите на изображението на Слънцето, когато Земята е в перихелий и в афелий . Следователно:

Очевидно, това изображение ще се побере в кадър от същия филм, чиято по-малка страна е 73 мм.
Съгласно закона на Ламберт общият видим блясък на Слънцето е обратно пропорционален на квадрата на разстоянието до него. Следователно, ако означим видимия блясък на Слънцето, когато е в перихелий, с Е₁, а когато Земята е в афелий – с Е₂, то:

Това означава, че в перихелий общият видим блясък на Слънцето в перихелий е с около 7% по-силен, отколкото в афелий.
Яркостта на единица повърхност от изображението на Слънцето е пропорционална на общия видим блясък на Слънцето и обратно пропорционална на площта на това изображение. Ако означим с I₁ и I₂ яркостта на единица повърхност на изображението на Слънцето, получено в перихелий и афелий, то:

Следователно

, или повърхностната яркост на изображението на Слънцето не се променя с разстоянието до него.

2 задача. В края на август 2006 г. Международният астрономически съюз дефинира нова група тела в Слънчевата система, наречени «планети джуджета». Най-голямото от тези тела получи името Ерис. То надвишава по размери Плутон и понастоящем се намира в афелия на своята орбита на разстояние 97.56 астрономически единици от Слънцето.
• Каква би била видимата звездна величина на Слънцето, гледано от Ерис?
• След колко време Ерис ще бъде в перихелий?
• Каква би била звездната величина на Слънцето, гледано от Ерис в перихелий?
Видимата от Земята звездна величина на Слънцето е –26.7^m.

Астрономическата единица е мярка за разстояние, равна на средното разстояние от Земята до Слънцето. Това означава, че понастоящем планетата джудже Ерис се намира 97.56 пъти по-далеч от Слънцето, отколкото е Земята. Съгласно закона на Ламберт, блясъкът на Слънцето, гледано от Ерис ще бъде 97.56² ≈ 9500 пъти по-слаб, отколкото блясъка на Слънцето за земния наблюдател. Видимата за нас звездна величина на Слънцето е m₀ = – 26.7^m . Видимата звездна величина m на Слънцето от Ерис пресмятаме с помощта на формулата на Погсън:

където Е₀ и Е са съответно осветеностите, които създава Слънцето на повърхността на Земята и на повръхността на Ерис.

Като знаем голямата полуос на орбитата на Ерис а , от ІІІ закон на Кеплер можем да намерим орбиталния му период Т:

където а₀ и Т₀ са голямата полуос на орбитата и орбиталният период на Земята. Ако а и а₀ са в астрономически единици, а Т и Т₀ в години, то:

Времето от настоящия момент, когато Ерис е в афелий, до момента, когато ще бъде в перихелий, ще е половината от нейния период, или приблизително 278 години. Ако означим с Е₁ и m₁ съответно осветеността, която Слънцето би създавало на повърхността на Ерис в перихелий и видимата звездна величина на Слънцето тогава, то:

Нека r и r₁ са разстоянията от Ерис до Слънцето в афелий и в перихелий. Знаем стойността на r , а

. Тогава

и следователно:

3 задача. В следващата таблица са дадени ректасцензиите на планетите, видими с невъоръжено око, за 31 декември 2006 г.

Планета	Ректасцензия
Меркурий	18h 28m
Венера	19h 54m
Марс	17h 09m
Юпитер	16h 26m
Сатурн	09h 50m

Ректасцензията на Слънцето за същата дата е 18h 44 m.
Кои от планетите ще можем да наблюдаваме на небето през новогодишната нощ? Опишете качествено през кои периоди от нощта ще се виждат те и в какви посоки? В кои съзвездия ще се намират? Обяснете вашите отговори.

Решение:

За да отговорим на въпросите, трябва да намерим приблизително на какво ъглово отстояние и в каква посока се намира всяка планета от Слънцето. Първо нека си припомним, че ректасцензията на небесните светила расте от запад на изток и че 1час по ректасцензия се равнява на 15° , а 4 минути – на 1° . Меркурий има ректасцензия само с 16 часови минути по-малка от тази на Слънцето. Следователно той е само на 4° западно от Слънцето и наблюдението му няма да е възможно в новогодишната нощ. Венера е на 1h 10m по ректасцензия източно от Слънцето, или на около 17.5° . Следователно наблюдението на Венера ще е много трудно. Тя ще се вижда много кратко време след залеза на Слънцето, много ниско над хоризонта във все още светлеещото небе при много ясно време и чист хоризонт. Слънцето ще е недалеч от точката на зимно слънцестоене, а Венера ще е между точката на зимно слънцестоене и точката на пролетно равноденствие, но много по-близо до първата от двете точки. Ето защо Венера ще залязва в посока запад-югозапад. Ще бъде в съзвездието Стрелец. Марс е на 1h 35m или около 24° западно от Слънцето. Тази планета ще се вижда сутрин ниско над хоризонта малко преди изгрева на Слънцето. Наблюдението й ще е много трудно, защото блясъкът й е доста по-слаб от този на Венера. Тя ще се вижда на изток в съзвездието Змиеносец. Юпитер е на 2h 18m или 34.5° западно от Слънцето по ректасцензия. Също като Марс, той ще се вижда сутрин преди изгрева на Слънцето на изток-североизток, но ще изгрява по-рано и ще може да се наблюдава за по-дълго време, отколкото Марс. Юпитер ще преминава от Скорпион към Змиеносец. Сатурн е на 8h 54m или на 133.5° по ректасцензия западно от Слънцето. Той ще се намира между точките на есенно равноденствие и на лятно слънцестоене. Ще изгрява на изток-североизток в късните вечерни часове и ще преминава през горна кулминация след полунощ. Тогава, естествено ще бъде на юг, а след това ще се премества на запад и сутринта преди изгрева на Слънцето ще бъде сравнително високо над западния хоризонт. Т.е. Сатурн ще се вижда много добре почти през цялата нощ и ще бъде в съзвездието Лъв.

4 задача. Къде по света се намират основните космодруми на бившия Съветски съюз, Съединените американски щати и Европейския съюз?
Защо според вас космодрумите са били построени именно на тази места?
(Упътване: Помислете какво е общото в географското разположение на космодрумите, някои от които дори са посторени извън границите на съответните държави или общности от държави).

Решение:

Основният космодрум на Съединените щати се намира в Кейп Канаверал, в южния щат Флорида, близо до източния бряг на северноамериканския континет. Основният космодрум на бившия Съветски съюз е в Байконур, Казахстан – една от южноазиатските бивши съветски републики, и е близо до пустинен район. Космодрумът на Европейската космическа агенция е в Куру, Френска Гвиана, в Южна Америка, близо до екватора и до източния бряг на континента. Общото в географското положение на трите космодрума е, че те са близо до екватора и на изток от тях има или океан, или слабо населени области. Причината е, че при изстрелването на повечето космически апарати се използва скоростта на околоосно въртене на Земята. Т.е., с цел намаляване на разходите на енергия, примерно един изкуствен спътник на Земята се изстрелва по посока на околоосното въртене на нашата планета и към линейната скорост на въртене, която той притежава по инерция, се добавя допълнителна скорост за извеждането му в орбита. Линейната скорост на движение около оста на Земята е най-голяма за точките на земния екватор и затова там е най-изгодно от такава гледна точка да се построи космодрум. Разбира се, поради причини, свързани с географското положение на страните, икономическите и политическите условия, космодрумите не се строят точно на екватора, а възможно най-близо до него.

По посоката на изстрелването на космическия апарат, т.е. по посоката на въртенето на Земята от запад на изток, не бива да има населени места. Ако изстрелването е неуспешно и космическият апарат падне на земната повърхност, той не бива да застрашава хората. Ето защо, на изток от космодрумите трябва да има безлюдна територия.

5 задача. В някои научнофантастични разкази и романи, посветени на пътешествия до Луната, се говори за рязкостта на сенките в този чужд за нас свят. Направете следния опит: Изследвайте рязкостта на сянката, която хвърля ръката ви в тъмна стая при осветление от електрическо фенерче и при осветление от екрана на телевизор. Въз основа на опита помислете за това колко биха били резки сенките на Меркурий. Дали там сенките биха били по-резки, отколкото сенките на Земята? Защо?

Решение:

Опитът показва, че сянката на ръката ни не е рязка нито при осветление с фенерче, нито при осветление от екрана на телевизора. При еднакво разстояние от светлинния източник до ръката, обаче, размитостта на сянката е по-голяма при осветление от екрана на телевизора. Причината е, че нито фенерчето, нито телевизионният екран не са точкови източници на светлина. На разстоянието до Меркурий или до Земята Слънцето също не е точков светлинен източник На фигурата е представена сянката, която се хвърля от топка, осветена от Слънцето. Лъчите 1 и 1' идват от най-горната точка на видимия слънчев диск, а лъчите 2 и 2' – от най-долната точка на видимия слънчев диск. Ъгълът δ е равен на видимия ъглов диаметър на Слънцето. Вижда се, че размитостта на сянката на топката зависи именно от този ъгъл. Меркурий е по-близо до Слънцето, отколкото Земята. Видимият оттам ъглов диаметър на Слънцето ще е по-голям, отколкото от Земята. Следователно на Меркурий сенките ще са по-размити, отколкото на Земята (също и отколкото на Луната, понеже разстоянието Луна-Слънце е приблизително равно на разстоянието Земя-Слънце).

6 задача. Да си представим, че оста на Земята е наклонена на 45° към равнината на земната орбита около Слънцето.
• Опишете качествено как ще се променя през годината продължителността на деня и нощта на места с различна географска ширина.
• За кои области от Земята ще има дни, в които Слънцето ще преминава през зенита?
Обяснете вашите отговори.

Нека считаме, че денят започва, когато центърът на видимия слънчев диск изгрее на хоризонта, а нощта започва, когато центърът на слънчевия диск залезе на хоризонта. Независимо от наклона на земната ос, на датите 21 март и 23 септември, когато са пролетното и есенното равноденствие, денят и нощта ще са по 12 часа за всички географски ширини с изключение на полюсите. На 22 юни оста на Земята е разположена спрямо направлението към Слънцето така, както е показано на фигурата:

Виждаме, че при наклон на оста 45° , за наблюдател, който се намира на 45-градусовия паралел, по пладне слънчевите лъчи ще падат отвесно, Слънцето ще се намира в зенита (точка A'). В полунощ за същия наблюдател Слънцето ще бъде на хоризонта (точка А). Следователно на този паралел няма да има нощ, денят ще е 24 часа. За наблюдател на географска ширина –45° в южното полукълбо по пладне Слънцето ще бъде на хоризонта (точка B'). За този наблюдател пък няма да има истински ден, а нощта ще е 24 часа.
На 22 декември разположението на земната ос спрямо Слънцето е представено на следващата фигура:

Тогава по пладне на 45-градусовия паралел в северното полукълбо Слънцето ще бъде на хоризонта и следователно няма да има истински ден, а нощта ще е 24 часа. Обратно, за географска ширина –45° в южното полукълбо денят ще е 24 часа.
Стигаме до заключението, че за географска ширина 45° продължителността на деня ще расте от 0 в деня на зимното слънцестоене през 12 часа в деня на пролетното равноденствие до 24 часа в деня на лятното слънцестоене, после ще намалява до 12 часа в деня на есенното равноденствие отново до 0 при зимното слънцестоене. Съответно нощта ще се променя от 24 часа при зимното слънцестоене до 0 при лятното слънцестоене.
За географска ширина, по-голяма от 45° , във времето около зимното слънцестоене ще има периоди от повече от 24 часа, през които ще има нощ – полярна нощ. С нарастване на географската ширина продължителността на непрекъснатата нощ ще се увеличава от 24 часа на 45-градусовия паралел до 6 месеца на северния полюс. Във времето около лятното слънцестоене ще има периоди от повече от 24 часа, през които ще има ден – полярен ден. С нарастване на географската ширина продължителността на непрекъснатия ден ще се увеличава от 24 часа на 45-градусовия паралел до 6 месеца на северния полюс. За южното полукълбо ситуацията ще е аналогична, но полярният ден ще бъде около 22 декември, а полярната нощ – около 22 юни.
За географска ширина, по-малка от 45° , дните ще са най-дълги за сметка на нощите около лятното слънцестоене, а най-кратки – около зимното слънцестоене. Около дните на пролетното и есенното равноденствие дните ще са приблизително равни на нощите. Колкото повече се доближаваме до екватора, толкова по-малка ще става разликата между продължителността на деня и нощта около зимното и около лятното сънцестоене, а на самия екватор през цялата година дните ще са равни на нощите. Същото се отнася и до географска ширина от 0 до –45° в южното полукълбо.
Дни, в които Слънцето по пладне ще преминава през зенита, ще има в зоната с географска ширина от +45° до –45° . На 45-гродусовия паралел това ще се случва около 22 юни, на –45-градусовия – около 22 декември, на екватора – около 22 март и 23 септември. На всяка от географските ширини между +45° и 0° ще има по две дати в годината в периода от 22 март до 23 септември, симетрични относно лятното слънцестоене, когато това ще се случва . На географските ширини между –45° и 0° ще бъде същото, но датите ще са в периода от 23 септеври до 22 март.