МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ

Х НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ

http://astro-olymp.org

  Ученици от 9-10 клас

1 задача. Кои точки от земната орбита се наричат перихелий и афелий?
Разстоянието от Земята до Слънцето в перихелий е 147.06×10⁶ км, а в афелий 152.14×10⁶ км. На фигурата виждате кадър от филм, на който е заснето Слънцето в момент, когато Земята е била близо до афелия на своята орбита.
Ще се събере ли върху кадър от същия филм изображението на Слънцето, което би се получило със същия фотоапарат, когато Земята е близо до перихелия на орбитата си?

Решение:

Нашата планета обикаля около Слънцето по орбита с форма на елипса.

В един от фокусите на елипсата е Слънцето. Перихелий е точката от земната орбита, която е най-близо до Слънцето, а афелий – най-далечната от Слънцето точка.
Измерване с линийка показва, че диаметърът на изображението на Слънцето е 64 мм, а тясната страна на кадъра от филма е 73 мм. Размерът на изображението на Слънцето, получено върху кадъра от филма, е пропорционален на видимия ъглов размер на Слънцето. Понеже този ъглов размер е малък, можем да считаме, че той е обратно пропорционален на разстоянието до Слънцето. Следователно диаметърът на изображението на Слънцето, получено на кадъра от филма, когато Земята е в перихелий, ще бъде:

Очевидно, това изображение ще се побере в кадър от същия филм, чиято по-малка страна е 73 мм.

2 задача. В края на август 2006 г. Международният астрономически съюз дефинира нова група тела в Слънчевата система, наречени «планети джуджета». Най-голямото от тези тела получи името Ерис. То надвишава по размери Плутон и понастоящем се намира в афелия на своята орбита на разстояние 97.56 астрономически единици от Слънцето.
•  Колко пъти по-слаб блясък би имало Слънцето, гледано от Ерис, в сравнение с блясъка му за земния наблюдател?
•  Каква би била видимата звездна величина на Слънцето, гледано от Ерис?
Видимата от Земята звездна величина на Слънцето е –26.7^m.

Решение:

Астрономическата единица е мярка за разстояние, равна на средното разстояние от Земята до Слънцето. Това означава, че понастоящем планетата джудже Ерис се намира 97.56 пъти по-далеч от Слънцето, отколкото е Земята. Съгласно закона на Ламберт, блясъкът на Слънцето, гледано от Ерис, ще бъде 97.56² ≈ 9500 пъти по-слаб, отколкото блясъка на Слънцето за земния наблюдател. Видимата за нас звездна величина на Слънцето е m₀ = – 26.7^m . Видимата звездна величина m на Слънцето от Ерис пресмятаме с помощта на формулата на Погсън:

където Е₀ и Е са съответно осветеностите, които създава Слънцето на повърхността на Земята и на повръхността на Ерис.

Но ние вече знаем, че . Оттук намираме:

3 задача. Какво е геостационарен спътник?
Каква е скоростта му спрямо земната повърхност?
Каква е скоростта на движение на спътника по неговата орбита?
Обяснете разликата.

Решение:

Геостационарният спътник обикаля в орбита около Земята над земния екватор. Той се движи от запад на изток – в същата посока, в която Земята се върти около своята ос. Периодът му на обикаляне съвпада с периода на околоосно въртене на Земята. Така спътникът се движи в синхрон с въртенето на Земята и относно земната повърхност той сякаш “виси” неподвижно над една и съща точка на Земята. Следователно скоростта му относно земната повърхност е нула.
Радиуса на орбитата на геостационарния спътник r намираме от ІІІ закон на Кеплер:

където m³/kg.sec² е гравитационната костанта, kg е масата на Земята, а Т = 23^h56^m е орбиталният период на спътника, равен на периода на околоосно въртене на Земята. Тук използваме продължителността на звездното, а не на слънчевото денонощие, тъй като то е равно на “истинския” преиод на въртене на Земята около оста й, т.е периода на въртене относно далечните звезди. Получаваме:

≈ 42 170 км

Скоростта на движение на спътника е:

v = 2πr / Т ≈ 11 070 km/h ≈ 3 km/sec .

Това е скоростта, с която спътникът се движи в космическото пространство относно центъра на Земята.

4 задача. На фигурата виждате едно съзвездие, нарисувано от участник в ІХ Национална олимпиада по астрономия.
•  Кое е това съзвездие?
•  Защо е трудно да го наблюдаваме през зимата?.
•  Намерете на небето някое от най-близките съзвездия около даденото на рисунката, което може да се види през зимата. Отбележете дата и часа на вашето наблюдение.
•  Нарисувайте как е било разположено приблизително наблюдаваното от вас съзвездие спрямо хоризонта.

Решение:

Съзвездието е Делфин – малко съзвездие, разположено близо до Пегас, Лебед и Орел. То се вижда най-добре през лятото, защото тогава е над хоризонта почти през цялата нощ и се издига високо в небето. Поради движението на Земята по нейната орбита около Слънцето, видът на нощното небе се мени в течение на годината. През зимата съзвездието Делфин се оказва над хоризонта в по-голямата част от времето през деня и не може да се наблюдава – то залязва много рано вечерта и изгрява твърде късно на сутринта. На следващата фигура е дадена част от небето така, както изглежда на 31 декември в 20 часа. Тогава достатъчно високо над хоризонта от сравнително близките до Делфин съзвездия най-лесно могат да се видят големите ярки съзвездия Лебед и Пегас, но също и Риби, Гушер, Цефей, Дракон. На картата е показано звездното небе над западния хоризонт на 31 декември в 20 часа за географска ширина 43°

5 задача. В някои научнофантастични разкази и романи, посветени на пътешествия до Луната, се говори за рязкостта на сенките в този чужд за нас свят. Направете следния опит: Изследвайте рязкостта на сянката, която хвърля ръката ви в тъмна стая при осветление от електрическо фенерче и при осветление от екрана на телевизор. Въз основа на опита помислете за това колко биха били резки сенките на Меркурий. Дали там сенките биха били по-резки, отколкото сенките на Земята? Защо?

Решение:

Опитът показва, че сянката на ръката ни не е рязка нито при осветление с фенерче, нито при осветление от екрана на телевизора. При еднакво разстояние от светлинния източник до ръката, обаче, размитостта на сянката е по-голяма при осветление от екрана на телевизора. Причината е, че нито фенерчето, нито телевизионният екран не са точкови източници на светлина. На разстоянието до Меркурий или до Земята Слънцето също не е точков светлинен източник На фигурата е представена сянката, която се хвърля от топка, осветена от Слънцето. Лъчите 1 и 1' идват от най-горната точка на видимия слънчев диск, а лъчите 2 и 2' – от най-долната точка на видимия слънчев диск. Ъгълът δ е равен на видимия ъглов диаметър на Слънцето. Вижда се, че размитостта на сянката на топката зависи именно от този ъгъл. Меркурий е по-близо до Слънцето, отколкото Земята. Видимият оттам ъглов диаметър на Слънцето ще е по-голям, отколкото от Земята. Следователно на Меркурий сенките ще са по-размити, отколкото на Земята (също и отколкото на Луната, понеже разстоянието Луна-Слънце е приблизително равно на разстоянието Земя-Слънце).

6 задача. Да си представим, че оста на Земята е наклонена на 45° към равнината на земната орбита около Слънцето. Опишете качествено:
•  как ще се променя през годината продължителността на деня и нощта на места с географска ширина 45°.
•  как ще се променя през годината продължителността на деня и нощта на места с географска ширина по-голяма от 45°.
Обяснете вашите отговори.

Решение:

Нека считаме, че денят започва, когато центърът на видимия слънчев диск изгрее на хоризонта, а нощта започва, когато центърът на слънчевия диск залезе на хоризонта. Независимо от наклона на земната ос, на датите 21 март и 23 септември, когато са пролетното и есенното равноденствие, денят и нощта ще са по 12 часа за всички географски ширини с изключение на полюсите. На 22 юни оста на Земята е разположена спрямо направлението към Слънцето така, както е показано на фигурата:

Виждаме, че при наклон на оста 45° , за наблюдател, който се намира на 45-градусовия паралел, по пладне слънчевите лъчи ще падат отвесно, Слънцето ще се намира в зенита (точка A'). В полунощ за същия наблюдател Слънцето ще бъде на хоризонта (точка А). Следователно на този паралел няма да има нощ, денят ще е 24 часа. (За наблюдател на географска ширина –45° в южното полукълбо по пладне Слънцето ще бъде на хоризонта (точка B'). За този наблюдател пък няма да има истински ден, а нощта ще е 24 часа.)
На 22 декември разположението на земната ос спрямо Слънцето е представено на следващата фигура:

Тогава по пладне на 45-градусовия паралел в северното полукълбо Слънцето ще бъде на хоризонта и следователно няма да има истински ден, а нощта ще е 24 часа. (Обратно, за географска ширина –45° в южното полукълбо денят ще е 24 часа.)
Стигаме до заключението, че за географска ширина 45° продължителността на деня ще расте от 0 в деня на зимното слънцестоене през 12 часа в деня на пролетното равноденствие до 24 часа в деня на лятното слънцестоене, после ще намалява до 12 часа в деня на есенното равноденствие отново до 0 при зимното слънцестоене. Съответно нощта ще се променя от 24 часа при зимното слънцестоене до 0 при лятното слънцестоене.
За географска ширина, по-голяма от 45° , във времето около зимното слънцестоене ще има периоди от повече от 24 часа, през които ще има непрекъсната нощ – полярна нощ. С нарастване на географската ширина продължителността на непрекъснатата нощ ще се увеличава от 24 часа на 45-градусовия паралел до 6 месеца на северния полюс. Във времето около лятното слънцестоене ще има периоди от повече от 24 часа, през които ще има ден – полярен ден. С нарастване на географската ширина продължителността на непрекъснатия ден ще се увеличава от 24 часа на 45-градусовия паралел до 6 месеца на северния полюс.