МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ

ХІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ

  Ученици от 9-10 клас

1 задача.
• Кои космически обекти приличат на гигантски атомни ядра? Могат ли да се състоят от протони?
• Кои космически обекти не могат да бъдат разделени на части, но могат да се сливат един с друг?
• От физиката знаем, че газът се стреми да заеме цялото предоставено му пространство. Звездите са кълба от газ. Защо газовото кълбо, което представлява дадена звезда, се държи като едно цяло, а не се разпръсква в космоса?

Решение:

Космическите обекти, които могат да се оприличат на гигантски атомни ядра, са неутронните звезди. В такива обекти се превръщат в края на своята еволюция масивните звезди. Неутронните звезди са с размери само от порядъка на десетки километри, но масите им са от величината на масите на звездите (1.5 – 3 слънчеви маси). Плътността им е милиони тонове на кубически сантиметър – подобна на плътността на атомните ядра. Състоят се от плътно опаковани неутрони – частици, които са основна съставна част и на атомните ядра. Обекти с такава голяма маса и размери не могат да се състоят от протони. Протоните, както знаем, имат положителен електрически заряд. Поставени близо един от друг, те ще изпитват големи електростатични сили на отблъскване. В атомните ядра протоните се задържат от силите на ядреното или силно взаимодействие, които на малки разстояния са по-мощни от електрическите. Но ядрените сили имат много малък радиус на действие и затова съществуването на структури с големи размери, съставени от протони, е невъзможно.
Космическите обекти, които могат да се сливат един с друг, но не могат да се разделят на части, са черните дупки. В такива обекти се превръщат в края на живота си най-масивните звезди. Черни дупки с огромни маси има и в ядрата на много от галактиките, включително и в нашата галактика. Черната дупка е обект, в близост до който гравитационното привличане е толкова силно, че нищо, дори и светлината, не може да го напусне. По тези причини няма и сила, която би могла да раздели на части самата черна дупка. Нищо не пречи, обаче, две черни дупки да се слеят, ако се срещнат в пространството.
Частиците, от които се състоят газовете – атоми или молекули – се движат хаотично  и свободно в пространството. като взаимодействията между тях са пренебрежимо малки, когато количеството газ не е много голямо. Тъй като всяка частица има в даден момент някаква скорост, тя може да се движи, докато не срещне ограничение, например стената на съда, в който се намира даденото количество газ. Затова газът се разпръсква в цялото предоставено му пространство. Звездите, обаче, са кълба от газ с огромни маси. При тях вече е съществено гравитационното привличане. То е причината звездите да не се разпръскват в космоса. Всъщност гравитационното взаимодействие между отделните части на една звезда би довело до нейното стремително свиване (колапс), ако във вътрешността й не се поддържа необходимото налягане, благодарение на високите температури, при които протичат термоядрените реакции. В голяма част от периода на същуствуването си една звезда е стабилна именно в резултат от равновесието между вътрешното налягане и гравитационните сили.

2 задача. Диаметърът на планетата Сатурн е приблизително 120 000 km.
• Направете нужните измервания върху снимката и определете външния и вътрешния диаметър на пръстените на Сатурн.

• Върху обикновен компакт-диск (CD) могат да се запишат 700 MB информация. Измерете външния и вътрешния диаметър на областта от един такъв диск, върху която се записва информацията. Пресметнете площта на тази област. Представете си гигантски компакт-диск с размерите на пръстените на Сатурн. Пресметнете неговата площ. Колко мегабайта биха могли да се запишат върху него?

Решение:

Измерваме с линийка върху снимката диаметъра на планетата Сатурн, вътрешния и външния диаметър на пръстените и получаваме съответно:
 mm                      mm                         mm
Диаметърът на Сатурн е  km. От него определяме мащаба на снимката – 1 mm от нея съответства на km. С помощта на този мащаб пресмятаме вътрешния и външния диаметър на пръстените на Сатурн в километри:

km 

km

Измерваме внимателно вътрешния и външния диаметър на зоната от един компакт-диск, където става записването на информацията:
mm                         mm
Пресмятаме площта на тази зона:

mm²

Площта на пръстените на Сатурн е:

km²  mm²

Сравняваме площта на пръстените на Сатурн с тази на един компакт-диск:

което е 5 милиарда милиарда пъти! Следователно върху гигантския въображаем компакт-диск с размерите на пръстените на Сатурн може да се запише толкова информация, колкото има в 5 милиарда милиарда обикновени компакт-дискове, или   МВ.

3 задача. Разделителната способност на космическия телескоп Хъбъл (Hubble Space Telescope) е около 0.1″ (дъгови секунди). Това е най-малкото видимо ъглово отстояние мeжду две звезди, при което те биха могли да се различат като отделни звезди с телескопа.
• На какво разстояние от вас трябва да застане ваш приятел, за да го виждате под такъв ъгъл? При пресмятанията посочете ръста на вашия приятел.
• Определете разделителната способност на вашите очи. Нарисувайте върху чист бял лист две отчетливи черни кръгчета с диаметър 3 mm. Разстоянието между центровете на кръгчетата нека бъде 5 mm. Поставете листа на добре осветено място и се отдалечете от него. Измерете разстоянието, на което преставате да различавате кръгчетата като две. Направете необходимите измервания и определете ъгъла, под който се вижда разстоянието между кръгчетата в този момент. В случай, че носите очила, можете да ги сложите по време на измерването.

• Колко пъти разделителната способност на телескопа Хъбъл е по-добра от тази на очите ви?.

Решение:

Нека ръстът на вашия приятел е  m, а търсеното разстояние до него е r . За да го виждате под ъгъл  , трябва да е изпълнено съотношението: където  α  се измерва в радиани. Първо превръщаме  в градуси и после го умножаваме по  . Така можем да пресметнем:

Впечатляващо разстояние!
Нека разстоянето, от което вече преставаме да различаваме двете черни кръгчета като две, да е m. Разстоянието между центровете на кръгчетата е m, а ъгълът, под който ги виждаме, да означим с δ . От съотношението    намираме:

където  δ  се измерва в радиани. Можем да го превърнем в градуси, а после и в минути:

Разделителната способност на нормалното човешко зрение е около 2 дъгови минути.
Сравняваме разделителната способност на телескопа Хъбъл с тази на нашите очи:

С телескопа Хъбъл можем да различаваме детайли от космическите обекти с 1000 пъти по-малки ъглови размери от тези, които можем да различим с невъоръжено око. Разделителната способност на космическия телескоп е около 1000 пъто по-добра от разделителната спосочност на нашите очи.

4 задача. Древногръцкият философ Филолай смятал, че Луната е прекрасен свят, където времето винаги е приятно и безоблачно. Според него там живеят красиви животни, 15 пъти по-едри от земните, защото лунният ден е 15 пъти по-дълъг от земния ден.
• Има ли нещо вярно в предположенията на Филолай?
• Колко време продължава лунното денонощие?
• От какви фактори зависи продължителността на лунното денонощие? Обяснете качествено как се изменя тази продължителност в зависимост от всеки от факторите.

Решение:

Дали Луната е прекрасен свят, зависи от гледната точка, от която я възприемаме. За астрономите, които са я избрали като обект на изследване, сигурно е така. Времето там наистина е винаги безоблачно, понеже няма достатъчно летливи вещества, от които да се образуват облаци, нито атмосфера, в която облаците да плуват. Едва ли на някого времето ще  се стори приятно, тъй като през деня температурата на повърхността е около +130° С, а през нощта спада до –170° С. За съжаление Луната е напълно лишена от живот и красиви животни там няма.
Луната показва фази, които се сменят с период приблизително 29.5 денонощия – един синодичен лунен месец. Те зависят от различното разположение на Слънцето, Луната и Земята в различни моменти от време. Луната е обърната все с една и съща страна към нас. Да си представим наблюдател, намиращ се около центъра на видимия от Земята лунен диск. Когато Луната за нас е в пълнолуние, за този лунен наблюдател Слънцето ще е близо до зенита – това ще съответства на момента пладне в неговия лунен ден. Периодът от пълнолуние до пълнолуние е един синодичен лунен месец. Той ще се равнява на периода от пладне до пладне, или на едно слънчево денонощие за лунния наблюдател. Това означава, че лунното денонощие продължава 29.5 земни денонощия. Също толкова пъти средно трябва лунният ден да е по-дълъг от земния ден. Следователно Филолай греши, като счита, че лунният ден е само 15 пъти по-дълъг от земния.
Под продължителност на лунното денонощие тук разбираме слънчевото денонощие за Луната – интервалът от време между две, примерно горни кулминации на Слънцето. Продължителността му зависи от ъгловата скорост, с която става видимото денонощно движение на Слънцето по лунното небе от изток на запад. Това движение се определя от околоосното въртене на Луната. Върху него обаче се наслагва макар и по-бавното преместване на Слънцето на фона на звездите в обратна посока – от запад на изток. Това преместване води до намаляване на ъгловата скорост на денонощното движение на Слънцто и до увеличение на продължителността на слънчевото денонощие за лунния наблюдател. Видимото преместване на Слънцето на фона на звездите се дължи на движението на Луната относно Слънцето. Върху него влияят следните фактори:
- Елиптичност на земната орбита около Слънцето. Когато Земята е около перихелия на своята орбита, тя се движи по-бързо, а заедно с нея и Луната, която е гравитационно свързана със Земята. Когато Земята е в афелия на своята орбита, тя заедно с Луната се движи по-бавно. Това означава, че около перихелия на земната орбита лунното денонощие ще е по-дълго, а около афелия – по-кратко.
- Наклон на лунния екватор към равнината на еклиптиката. Да въведем лунни небесни координати, подобно на екваториалните небесни координати за земния наблюдател – ректасцензия и деклинация. Наклонът на лунния небесен екватор към еклиптиката е много малък – около 2 градуса. Но все пак той влияе върху видимата скорост на преместване на проекцията на Слънцето върху лунния небесен екватор. Около лунните “равноденствия”, когато Слънцето е близо до лунните равноденствени точки, проекцията му върху лунния небесен екватор се премества най-бавно. Това скъсява слънчевите денонощия за лунния наблюдател. Когато Слънцето е близо до точките на слънцестоене в лунната координатна система, проекцията му върху лунния небесен екватор се премества по-бързо и денонощията се удължават.
- Елиптичност на лунната орбита около Земята. Аномалистичният лунен месец – периодът между две преминавания на Луната през перигея на нейната орбита – е по-кратък от синодичния. В зависимост от различната ориентация на лунната орбита относно Слънцето, в рамките на един синодичен месец могат да се случат две преминавания на Луната през перигея и едно през апогея, или пък две преминавания на Луната през апогея и едно през перигея. Като имаме предвид втория закон на Кеплер, заключаваме, че в тези два случая продължителността на синодичния лунен месец, а оттам и на лунното денонощие, ще е различна.
(Забележка: Последните две обяснения, дадени в курсив, са по-сложни и не може да се изискват от участниците в първия кръг като задължителен елемент от решението. Ако определен участник е дал в решението си някои от идеите в тях, то да му се присъждат допълнителните точки за награда).

5 задача. Млечният път, или нашата галактика, е огромна система от звезди. Тази система е с форма на диск.
• Какъв е диаметърът на нашата галактика? На какво разстояние се намира Слънцето от центъра на галактичния диск?
• Нарисувайте схема на галактичния диск, погледнат „отгоре”. Отбележете примерното положение на Слънцето, като спазите мащаба на разстоянията.
• Потърсете информация за движението на Слънцето около центъра на Галактиката. Отбележете върху вашата схема приблизително къде ще се намира Слънцето след 100 милиона години.
• Какъв път ще измине Слънцето за това време? На какво разстояние ще бъде тогава то от сегашното си положение в Галактиката?

Решение:

На небето виждаме Млечния път като светла ивица. Това е дискът на Галактиката, обърнат с тясната си страна към нас (ребром). Трябва да се отдалечим на доста голямо разстояние от Галактиката, за да я видим откъм плоската страна на диска.

Диаметърът на нашата галактика е около 100 000 светлинни години (или около 30 000 парсека). Представяме я схематично като кръг. Слънцето се намира на разстояние от центъра й приблизително 26 000 светлинни години (или около 8000 парсека). Следователно можем да нанесем неговото положение в точка 1, която е отдалечена от центъра на Галактиката приблизително на половината от радиуса на кръга. Слънцето се движи около центъра на Галактиката със скорост 220 km/sec и прави една обиколка приблизително за 220 000 000 години.
Интервалът от 100 000 години е почти половината от периода на обикаляне на Слънцето около галактичния център.Следователно след 100 000 години Слънцето ще се намира приблизително в диаметрално противоположната част на Галактиката, примерно в точка 2 на схемата. То е на разстояние 2 × 26 000 = 52 000 светлинни години (или около 16000 парсека) от сегашното си положение в Галактиката. (Забележка: Поради това, че определянето на размерите на нашата галактика и на положението на Слънцето в нея е трудно, получените от науката резултати са доста приблизителни. Ето защо в различни източници на информация могат да се намерят леко различаващи се данни за диаметъра на Галактиката, разстоянието от Слънцето до нейния център, скоростта и периода на движението на Слънцето. Решенията на задачата, в които са използвани такива различни данни, следва да се считат за правилни, независимо че не са получени точно същите отговори, както в предлаганото официално решение.)

Интервалът от 100 000 000 години е равен на 100 000 / 220 000 000 част от периода на обикаляне на Слънцето около галактичния център. Пътят, който ще измине Слънцето за такъв интервал от време, ще бъде:

 светлинни години

6 задача. Двама пилоти се състезават със своите самолети. Те излитат от Санкт Петербург (φ ≈ 60° с.ш., λ ≈ 30° и.д.) в Русия. Целта им е да стигнат най-бързо до Анкоридж (Anchorage, φ ≈ 60° с.ш., λ ≈ 150° з.д.) в Аляска. Самолетите им се движат със скорост 1000 km/h. Единият пилот избира източния път – движи се през цялото време само на изток. Другият избира западния път.
• Пресметнете времената, за които пилотите са стигнали до Анкоридж.
• Ако вие трябваше да се състезавате, кой път бихте избрали? Подкрепете отговора си с пресмятания.

Решение:

Касиопея е сравнително малко красиво съзвездие, чиито пет най-ярки звезди образуват лесно разпознаваема фигура, наподобяваща латинската буква W. На фигурата е показано съзвездието Касиопея с приблизителните ъглови отстояния между някои от звездите.

31 декември 2008 г.
23 ч. 00 мин.